Fiche de révision - Complexe - Le cours - Ensemble des nombres complexes - YouTube
Fiche De Révision Nombre Complexe 3
Dans un repère orthonormé direct, on peut associer, à tout point de coordonnées, le nombre complexe. On dit que est l'affixe du point et du vecteur. On appelle module de le nombre réel et, pour, on appelle arguments de les nombres (). Cela permet de:
✔ étudier des configurations géométriques;
✔ résoudre des problèmes d'alignement de points et de parallélisme ou d'orthogonalité de droites. Pour tout nombre complexe non nul de forme algébrique, on peut déterminer une forme trigonométrique et une forme exponentielle. De plus, on a et. Cela permet de:
✔ simplifier le calcul de module et d'arguments d'un nombre complexe défini par une somme, un produit ou un quotient de nombres complexes;
✔ résoudre des problèmes géométriques, en particulier ceux en lien avec des calculs d'angles. Pour tout et, et (formules d'Euler) et (formule de Moivre). Nombres complexes - Le Figaro Etudiant. Cela permet de:
✔ linéariser des expressions trigonométriques;
✔ simplifier l'étude de certaines suites et intégrales. L'ensemble des solutions complexes de (où) est.
Fiche De Révision Nombre Complexe De
Soit l'équation où a est un réel non-nul et b, c
des réels. L'équation
En posant,, on obtient une équation
du type Z 2 = k dont les solutions varient en
fonction du signe de k, c'est-à-dire, du signe de
Δ. Les cas sont connus depuis la classe de
première. Le cas donne
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Au cours de ce chapitre, nous allons définir les nombres complexes, leurs propriétés ainsi que la signification d'une forme algébrique d'un complexe d'un point de vue trigonométrique
I. Définition et résolution d'équations
A. Définition
1. Qu'est ce qu'un nombre complexe
Soit un nombre z= a+ib avec a et b deux réels et i l'unité imaginaire définie par la relation i 2 = -1→ z est donc un nombre complexe. On dit que a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire de z.
2. A retenir
Si zz' = 1, z' est donc l'inverse de z.
Soit z= a+ib, alors z ̅ défini comme étant égal à a-ib est dit le conjugué de z.
Soit z= a+ib, le module de z est défini comme étant √(a^2+〖yb〗^2) noté ∣z∣. B. Equations complexes
Soit l'é quation az2+bz+c= 0 avec a≠0:
Soit ∆ le discrimimant de az 2 +bz+c. Image et affixe d'un nombre complexe - Fiche de Révision | Annabac. Si ∆<0 cette équation admet deux solutions complexes conjuguées:
z1=(-b-i√(b 2 -4ac))/2a
z2=(-b+i√(b 2 -4ac))/2a
II. Formes trigonométriques et exponentielles
Soit un nombre complexe et non nul z. On admet que z = ∣z∣ (cosθ + isinθ) et on appelle cette écriture la forme trigonométrique de z. θ est l'argument de z.
A partir de la forme trigonométrique, on peut remplacer (cosθ + isinθ) par la notation eiα pour aboutir à la forme exponentielle z = ∣z∣e i θ.
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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé [latex](O; \vec{u}, \vec{v})[/latex]. Une urne contient trois boules indiscernables au toucher marquées [latex]1, 2, 3[/latex]. Une épreuve consiste à prélever une première boule de l'urne dont le numéro sera noté [latex]a[/latex] puis, sans la remettre dans l'urne, une seconde boule dont le numéro sera noté [latex]b[/latex]. Fiche de révision nombre complexe d'oedipe. Au résultat[latex](a; b)[/latex] du tirage, on associe l'application du plan complexe dans lui-même qui à tout point [latex]M[/latex] d'affixe [latex]z[/latex] fait correspondre le point [latex]M^\prime[/latex] d'affixe [latex]z^\prime[/latex] tel que [latex]z^\prime= \alpha z[/latex] avec [latex] \alpha = \frac{a}{2} e^{ib \frac{ \pi}{3}}[/latex]. Quels sont les résultats [latex](a; b)[/latex] possibles? Quelles sont les valeurs de[latex] \alpha [/latex] correspondantes? Soit [latex]A[/latex] le point d'affixe [latex]z_0= \sqrt{3} + i[/latex] et [latex]A^\prime[/latex] le point d'affixe [latex]z_0^\prime = \alpha z_0[/latex]image de [latex]A[/latex] par l'application associée au résultat d'une épreuve.
C L'interprétation géométrique Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B}: AB = |z_{B} - z_{A}| Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b.
L'ensemble des points M (d'affixe z) du plan complexe vérifiant |z-a|=|z-b| est la médiatrice du segment \left[ AB \right]. Autrement dit, si A, B et M sont des points du plan complexe d'affixes respectives a, b et z. Fiche de révision nombre complexe pour. Alors M appartient à la médiatrice du segment \left[ AB \right] si, et seulement si, |z-a|=|z-b|. Soit \Omega (d'affixe \omega) un point du plan complexe et r un réel positif. L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que |z-\omega|=r est le cercle de centre \Omega et de rayon r. Autrement dit, si \Omega (d'affixe w) est un point du plan complexe et r un réel positif, alors un point M d'affixe z appartient au cercle de centre \Omega et de rayon r si, et seulement si, |z-\omega|=r. Soit \Omega (d'affixe w) un point du plan complexe et r un réel positif.